基本概念
一、定义
下图为 Mental Poker over the Telephone[SRA81]，文中提出了通过完备的论证方法，来实现对传递信息的隐匿，而非严格的数学证明，该结论为后续零知识证明的可行性奠定了基础。2012年图灵奖获得者Shafi Goldwasser与Silvio Micali首次正式引入了零知识证明（Zero-Knowledge Proof, ZKP）的概念，文章为The knowledge complexity of interactive proof-systems
零知识证明，实际都是通过论证得出，而非严格的数学证明
论证：利用论据（原因，例子，数据）等，验证论点为真（无限接近100%）。交互证明(Interactive Proof)在定义上是允许一个无效证明通过验证的可能性微小但非零概率，而论证即为计算可靠性问题的IP，允许存在不正确陈述的“证明”（需要非常大的算力才能找到）。以计算性问题为前提条件后，一个重要的优势是能够使用(多项式时间安全)的密码学原语。
证明：从空条件集合出发，利用假设法、公理、公设，来证明一个命题的恒为真，每个过程都要详细，确信的100%
定义 :零知识证明（ZKP, Zero-Knowledge Proof）是一方（证明者Prover）向另一方（检验者Verifier）论证某命题的方法。零知识协议是一种协议，它允许你证明你知道一些特定的数学事实，而无需透露有关事实本身的任何信息。在零知识协议中生成的证明称为零知识证明。
完备性(completeness)：如果 Prover 知道正确的具体信息，他们总是能够做出令人满意的回答；
可靠性(Soundness)：如果 Prover 不知道正确的具体信息，他们最终会被抓住，换言之，可靠的系统不会允许虚假的陈述被错误地证明为真;
知识可靠性(Knowledge Soundness)：是可靠性的更强要求，要求证明者必须真的知道某个特定的信息（比如一个密码或是一个解）。（该点往往是使用者实现，比如有的ZK-Snark系统本身只能是实现可靠性，因为系统内不包含“知识”信息，开发者在该系统上架构，可以实现知识可靠性）
零知识(Zero Knowledge)：Prover 的回答不会泄露其具体信息，验证者除了正确外，不知道任何其他信息；
值得说明的是，零知识特性是可选的(optional)。例如，zkrollup的实现过程中，一般只会实现SNARK(见ZK-SNARKs章节)，而不会引入ZK属性
应用：零知识证明都是针对可计算问题
对于一个判定问题，若存在一个总是在有限步内停机且能够正确进行判定的图灵机，则这个问题是一个 图灵可计算 的问题，否则这个问题是一个 图灵不可计算 的问题。
典型不可计算问题-停机问题：给定 $α$ 和 $x$ ，判定 $M_α$ 在输入为 $x$ 时是否会在有限步内停机。
二、现代零知识的特点
为解决通用可计算问题，设计一个通用框架将问题转化为一个可计算模型(computational model)，然后利用零知识证明系统生成证明。在古典零知识证明中，对于像三色图问题，研究人员（数学家）都必须提出一个应用于特定场合的特殊用途/特定的ZK协议，而在现代ZK零知识证明中，。
一个输出 $y$ ，一个任意函数 $f$，知道一个秘密 $x$ ，使得 $f(x)=y$
在此基础上，我们能够在完全隐私的情况下验证任意计算（如货币、数字所有权的转移）。也是因此，程序员才可以上手写逻辑。
满足完美零知识证明的不可区分特性。如果 “模拟视图” 和 “真实交互” 通过任意算法无法区分，则称为完美零知识。
计算不可区分加密：限制了任意算法为 多项式时间算法(ploy-time algorithm)
例如，在现代零知识证明中，非对称加密(如椭圆曲线)的数字签名具不具备零知识属性。
如，私钥在一个向量中[s1,s2,s3,...,sN]，使用一个普通的椭圆曲线签名可以证明你拥有某个私钥sK，但是一个adversary可以通过遍历这个向量来模拟出你的信息，发现你用的是哪个私钥，零知识需要保证哪怕这个adversary 能够模拟出一些信息,也无法得知用哪个。
进阶：Schnorr签名方案，一个经典的Sigma协议(见承诺方案章节)，具有Special Honest-Verifier Zero-knowledge property
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